Question

【题目】已知点，直线：，平面上有一动点，记点到的距离为.若动点满足：.

（1）求点的轨迹方程；

（2）过的动直线与点的轨迹交于，两点，试问：在轴上，是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定点，使得为常数，点

【解析】

（1）设点，可得到的表达式，结合，可求得的关系式，即为所求轨迹方程；

（2）若直线的斜率存在，设过点的直线：，与轨迹方程联立，可得到关于的一元二次方程及根与系数关系，设，，，可得到的表达式，将根与系数关系代入上式，整理并化简可求得定点及定值，若直线的斜率不存在，验证可知也满足题意.

（1）设点，则，，展开得，

所以的轨迹方程为；

（2）假设在轴上存在定点，使得为常数，设，，，

则，，

若直线的斜率存在，不妨设过点的直线：，，

，，

则 ，

不妨设，则

化简可得，

令，解得，，

即为常数，点，；

若直线的斜率不存在，设在的上方，可得，，经验证满足.

故在轴上，存在定点，使得为常数，点，.