题目内容
【题目】已知位数满足下列条件:①各个数字只能从集合
中选取;②若其中有数字
,则在
的前面不含
,将这样的
位数的个数记为
;
(1)求、
;
(2)探究与
之间的关系,求出数列
的通项公式;
(3)对于每个正整数,在
与
之间插入
个
得到一个新数列
,设
是数列
的前
项和,试探究
能否成立,写出你探究得到的结论并给出证明;
【答案】(1),
(2)
,
(3)不能成立,证明见解析
【解析】
(1)根据已知条件,进行分类讨论,由此计算出的值.
(2)根据已知条件,分类讨论求得和
之间的递推关系式,由此求得数列
的通项公式.
(3)根据(2)中求得的数列的通项公式,计算出
,由此证得
不成立.
(1)当时,这样的
位数有
个,所以
.
当时,若个位数字为
,则十位数字可以为
,共有
种;若个位数字为
,则十位数字可以为
,共有
种.所以当
时,共有
种,即
.
当时,若个位数字是
,则十位和百位的可能情况有
种;若个位数字为
,则十位和百位分别有
种,共有
种.所以
.
(2)结合(1)的分析可知,当位数时,若个位数字是
,其余
个位置的方法数为
;若个位数字为
,则其余
个位置的方法数为
种.所以
.整理得
,所以
是以
为首项,公差为
的等差数列,则
,化简得
.所以数列
的通项公式为
.
(3)由(2)得.则
,
,
由于,所以
单调递增,所以
不成立.
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