题目内容
【题目】数列的前n项
组成集合
,从集合
中任取
个数,其所有可能的k个数的乘积的和为
(若只取一个数,规定乘积为此数本身),例如:对于数列
,当
时,
时,
;
(1)若集合,求当
时,
的值;
(2)若集合,证明:
时集合
的
与
时集合
的
(为了以示区别,用
表示)有关系式
,其中
;
(3)对于(2)中集合.定义
,求
(用n表示).
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)利用的定义可得
的值.
(2)时,集合
的
中乘积由两部分构成,一部分是乘积中含
,另一部分不含
,从而可得
之间的关系.
(3)可先证明所有非空子集中各元素的乘积和为
,从而可得
.
(1)时,
,
所以,
,
.
(2)时,集合
的
中各乘积由两部分构成,
一部分是乘积中含因数,乘积的其他因数来自集合
,故诸乘积和为
;
另一部分不含,乘积的所有因数来自集合
,故诸乘积的和为
.
故.
(3)我们先证明一个性质:
所有非空子集中各元素的乘积和为
.
证明:考虑的展开式,该展开式共有
项,
每一项均为各因式中选取或
后的乘积(除去各项均选1).
对于的任意非空子集
,
该集合中各元素的乘积为
的展开式中的某一项:即第
个因式选择
,
,其余的因式选择1,
注意到非空子集的个数为,
故的所有非空子集中各元素的乘积均在
的展开式中恰好出现一次,
所以所有非空子集中各元素的乘积和为
.
故对于,
.
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