题目内容
【题目】已知函数.
(1)当且
时,证明
.
(2)令,若
时,
恒成立,求实数
的取值范围;
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)先将所证不等式转化成,再令
,求出导数,然后求出
的极小值,若极小值大于或等于0即证.
(2)求得的导数,令
,求出单调区间和最值,讨论
①当当即
时,
②当即
时,求出单调性,以及最小值,解不等式即可得到
的取值范围.
详解:
(1)等价于
,
即.
∵,∴等价于
.
令,
则.
∵,∴
.
当时,
,
单减;
当时,
,
单增.
∴在
处有极小值,即最小值,
∴,
∴且
时,不等式
成立.
(2)∵,∴
.
令,∴
,
当时,
,∴
在
上单增,
∴.
当即
时,
恒成立,即
,∴
在
上单增,
∴,所以
.
当即
时,∵
在
上单增,
且,
当时,
,
∴,使
,即
.
当时,
,即
单减;
当时,
,即
单增.
∴,
∴,由
,∴
,
记,∴
,∴
在
上单调 递增,∴
,∴
,综上,
.
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