题目内容
【题目】已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈(﹣ ,
)
(1)当a= ,θ=
时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;
(2)若f( )=0,f(π)=1,求a,θ的值.
【答案】
(1)解:当a= ,θ=
时,f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)
=sin(x+ )+
cos(x+
)=
sinx+
cosx﹣
sinx=﹣
sinx+
cosx
=sin( ﹣x)=﹣sin(x﹣
).
∵x∈[0,π],∴x﹣ ∈[﹣
,
],
∴sin(x﹣ )∈[﹣
,1],
∴﹣sin(x﹣ )∈[﹣1,
],
故f(x)在区间[0,π]上的最小值为﹣1,最大值为
(2)解:∵f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),a∈R,θ∈(﹣ ,
),
f( )=0,f(π)=1,
∴cosθ﹣asin2θ=0 ①,﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②,
由①求得sinθ= ,由②可得cos2θ=
=﹣
﹣
.
再根据cos2θ=1﹣2sin2θ,可得﹣ ﹣
=1﹣2×
,
求得 a=﹣1,∴sinθ=﹣ ,θ=﹣
.
综上可得,所求的a=﹣1,θ=﹣
【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f(x)=﹣sin(x﹣ ),再根据x∈[0,π],利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值.(2)由条件可得θ∈(﹣
,
),cosθ﹣asin2θ=0 ①,﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②,由这两个式子求出a和θ的值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的余弦公式的相关知识,掌握两角和与差的余弦公式:,以及对两角和与差的正弦公式的理解,了解两角和与差的正弦公式:
.
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