Question

【题目】如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．

（1）求证：C1M∥平面A1ADD1；
（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1= ，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，

又M为AB的中点，∴AM=1．

∴CD∥AM，CD=AM，

∴AM C1D1，

∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1平面A1ADD1，AD1平面A1ADD1，

∴C1M∥平面A1ADD1；

（2）解：解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，

∴面D1C1M与ABC1D1共面，

作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，

在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，

∴CN= ，

在Rt△D1CN中，CD1= ，CN= ，

∴D1N=

∴cos∠D1CN= = =

解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系

则C1（﹣1，0， ），D1，（0，0， ），M（ ， ，0），

∴ =（1，0，0）， =（ ， ，﹣ ），

设平面C1D1M的法向量 =（x1，y1，z1），

则 ，∴ =（0，2，1）．

显然平面ABCD的法向量 =（0，0，1），

cos＜ ， ＞|= = = ，

显然二面角为锐角，

∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为 ．

【解析】（1）连接AD1 ， 易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（2）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0， ），D1 ， （0，0， ），M（ ， ，0）， =（1，1，0）， =（ ， ，﹣ ），设平面C1D1M的法向量 =（x1 ， y1 ， z1），可求得 =（0，2，1），而平面ABCD的法向量 =（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．