Question

设数列{a_n}的各项均为正数．若对任意的n∈N^*，存在k∈N^*，使得＝a_n·a_n＋2k成立，则称数列{a_n}为“J_k型”数列．
(1)若数列{a_n}是“J₂型”数列，且a₂＝8，a₈＝1，求a_2n；
(2)若数列{a_n}既是“J₃型”数列，又是“J₄型”数列，证明：数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

（1）a_2n＝a₂q^n－1＝()^n－4.
（2）见解析

解：(1)由题意得a₂，a₄，a₆，a₈，…成等比数列，且公比q＝()＝，
所以a_2n＝()^n－4.
(2)由数列{a_n}是“J₄型”数列，得
a₁，a₅，a₉，a₁₃，a₁₇，a₂₁，…成等比数列，设公比为t.
由数列{a_n}是“J₃型”数列，得
a₁，a₄，a₇，a₁₀，a₁₃，…成等比数列，设公比为α₁；
a₂，a₅，a₈，a₁₁，a₁₄，…成等比数列，设公比为α₂；
a₃，a₆，a₉，a₁₂，a₁₅，…成等比数列，设公比为α₃.
则＝α₁⁴＝t³，＝α₂⁴＝t³，＝α₃⁴＝t³.
所以α₁＝α₂＝α₃，不妨记α＝α₁＝α₂＝α₃，且t＝α.
于是a_3k－2＝a₁α^k－1＝a₁()^(3k－2)－1，
a_3k－1＝a₅α^k－2＝a₁tα^k－2＝a₁αk－＝a₁()^(3k－1)－1，
a_3k＝a₉α^k－3＝a₁t²α^k－3＝a₁αk－＝a₁()^3k－1，
所以a_n＝a₁()^n－1，故{a_n}为等比数列．