Question

11．设x₁，x₂是函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$+2bx的两个极值点，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），则$\frac{b-2}{a+2}$的取值范围是（　　）

• A． （-2，1）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$）∪（1，+∞）
• C． （$\frac{1}{4}$，1）
• D． （-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 求导函数，利用f（x）的两个极值点分别是x₁，x₂，x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），建立不等式，利用平面区域，即可求$\frac{b-2}{a+2}$的取值范围．

解答 解：由题意，f′（x）=x²+ax+2b．
∵f（x）的两个极值点分别是x₁，x₂，x₁∈（0，1），
x₂∈（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=2b＞0}\\{f′（1）=1+a+2b＜0}\\{f′（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，
对应的平面区域如图所示，三个顶点坐标为A（-1，0），
B（-2，0），C（-3，1），则
在（-1，0）处，$\frac{b-2}{a+2}$=-2，在（-3，1）处，$\frac{b-2}{a+2}$=1，
∴$\frac{b-2}{a+2}$的取值范围是（-∞，-2）∪（1，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查导数知识的运用：求极值，考查平面区域的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．