Question

3．已知${（\root{3}{x}+{x^2}）^{2n}}$的展开式的二项式系数和比（3x-1）ⁿ的展开式的二项式系数和大992．求${（2x-\frac{1}{x}）^{2n}}$的展开式中：
（Ⅰ）二项式系数最大的项．
（Ⅱ）求含$\frac{1}{x^2}$的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ展开式的二项式系数和比（3x-1）ⁿ的展开式的二项式系数和大992，求出n的值，即可确定出二项式系数最大的项；
（Ⅱ）根据二项式展开法则确定出含$\frac{1}{x^2}$的项即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：2²ⁿ-2ⁿ=992，即2ⁿ=32，
解得：n=5，
则二项式系数最大的项为T₆=-${C}_{10}^{5}$•2⁵=-8064；
（Ⅱ）含$\frac{1}{x^2}$的项为T₇=${C}_{10}^{6}$•2⁴•$\frac{1}{{x}^{2}}$=3360•$\frac{1}{{x}^{2}}$．

点评 此题考查了二项式定理的应用，熟练掌握二项式定理是解本题的关键．