Question

【题目】△ABC的三个顶点分别为A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点D（0，4）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC外接圆M的方程；
（3）若直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ=2 ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为A（1，0），B（1，4），C（3，2），所以kAC=1，kBC=﹣1，

所以CA⊥CB，又CA=CB=2 ，所以△ABC是等腰直角三角形

（2）解：由（1）可知，⊙M的圆心是AB的中点，所以M（1，2），半径为2，

所以⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4

（3）解：因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为2 时，

圆心到直线的距离为 =1．

①当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它与圆心M（1，2）的距离为1，满足条件；

②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，因为圆心到直线y=kx+4的距离为 =1，解得k=﹣ ，此时直线l的方程为3x+4y﹣16=0．

综上可知，直线l的方程为x=0或3x+4y﹣16=0

【解析】（1）根据点的坐标分别求得AC，BC的斜率判断出两直线垂直，进而判断出三角形为直角三角形．（2）先确定圆心，进而利用两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可得．（3）先看直线斜率不存在时判断是否符合，进而看斜率存在时设出直线的方程，利用圆心到直线的距离求得k，则直线的方程可得．