题目内容
【题目】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的两个动点A,B始终满足∠AFB=60°,过弦AB的中点H作抛物线的准线的垂线HN,垂足为N,则的取值范围为
A.(0,]B.[,+∞)
C.[1,+∞)D.(0,1]
【答案】D
【解析】
过A,B分别作抛物线准线的垂线AQ,BP,垂足分别为Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,根据抛物线的定义得到|HN|=,在中,由余弦定理得,于是得到的表达式,然后根据基本不等式可得所求的范围.
过A,B分别作抛物线准线的垂线AQ,BP,垂足分别为Q,P.
设|AF|=a,|BF|=b,
则由抛物线的定义得|AQ|=a,|BP|=b,
所以|HN|=.
在中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab,
所以,
因为a+b≥2,
所以,当且仅当a=b时等号成立,
故的取值范围为(0,1].
故选D.
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