题目内容
【题目】将边长为
的正方形
沿对角线
折起，使得平面
平面
，在折起后形成的三棱锥
中，给出下列四个命题：①
；②异面直线
与
所成的角为
；③二面角
余弦值为
；④三棱锥的体积是
.其中正确命题的序号是___________.（写出所有正确命题的序号）
【答案】①③
【解析】
根据线面垂直证明①，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解②，可用射影面积法求③，求出底面积和高得④.
取
中点
，连接
，
，
所以
平面
，
平面，所以
，①正确；
因为
，所以
就是二面角
的平面角，平面
平面
，所以
，
以中点为原点，
为
坐标轴的正方向，建立空间之间坐标系，如图所示：
，
，
根据向量夹角的取值范围可得：异面直线
与
所成的角为
，所以②错误；
已经证得
，所以
平面，
，
就是
到平面的距离，
根据射影面积法可求得二面角
余弦值为
，
所以③正确；
三棱锥
的体积是
，所以④不正确.
故答案为：①③
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