Question

【题目】已知动点与两个定点，的距离的比为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于、两点，求线段长度的最小值；

（3）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .(3).

【解析】

（1）根据两点间距离公式，及动点与两个定点，的距离的比为，代入化简即可求得动点P的轨迹方程。

（2）根据（1）中求的轨迹方程，判断出点在圆内，则当直线满足时MN的值最小，根据垂径定理即可求得最小值。

（3）表示出圆Q的方程，根据两个圆有公共点的条件，可知两个圆的圆心距满足，解不等式即可求得t的取值范围。

（1）由题意知：设

则，即，

所以，

整理得.

所以动点的轨迹的方程为.

（2）由（1）知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆.

又因为，所以点在圆内，

所以当线段的长度最小时，，

所以圆心到直线的距离为，

此时，线段的长为，

所以，线段长度的最小值为.

（3）因为点的坐标为，且圆与轴相切，所以圆的半径为，

所以，圆的方程为.

因为，圆与圆有公共点，

又圆与圆的两圆心距离为

，

所以，

即，

解得：.

所以，实数的取值范围是.