题目内容

已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:相交于B、C,当直线l的斜率是时,
(Ⅰ)求抛物线G的方程;
(Ⅱ)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
(Ⅰ);(Ⅱ)

试题分析:该题考察抛物线的方程、韦达定理、直线和抛物线的位置关系、向量等基础知识,考察数形结合、综合分析和解决问题能力、基本运算能力,(Ⅰ)求直线的方程:,和抛物线联立,得
,代入 向量式中,得,然后联立
可得,∴抛物线方程为;(Ⅱ)设直线的方程:,线段的中点,将联立,可得,因为直线与抛物线交与两点,所以,可得,再表示中点,进而可求线段的中垂线方程,令,可得其在轴的截距,求其值域即可.
试题解析:(1)设,由已知k1时,l方程为
即x=2y-4.


又∵
                                                     5分
由p>0得,即抛物线方程为:
(2)设l:,BC中点坐标为
得:
∴x0=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.
∴BC的中垂线方程为y?2k2?4k=?(x?2k)
∴BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2
对于方程①由△=16k2+64k>0得:
∴                                          12分
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