题目内容
【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值. (Ⅰ)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对x∈[﹣2,3],不等式f(x)+ c<c2恒成立,求c的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)f′(x)=3x2+2ax+b, 由题意: 即
解得
∴ ,f′(x)=3x2﹣3x﹣6
令f′(x)<0,解得﹣1<x<2;
令f′(x)>0,解得x<﹣1或x>2,
∴f(x)的减区间为(﹣1,2);增区间为(﹣∞,﹣1),(2,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增;
在(﹣1,2)上单调递减;在(2,+∞)上单调递增.
∴x∈[﹣2,3]时,f(x)的最大值即为f(﹣1)与f(3)中的较大者. ;
∴当x=﹣1时,f(x)取得最大值.
要使 ,只需 ,即:2c2>7+5c
解得:c<﹣1或 .
∴c的取值范围为
【解析】(Ⅰ)求出f′(x)并令其=0得到方程,把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可;(Ⅱ)求出函数的最大值为f(﹣1),要使不等式恒成立,既要证f(﹣1)+ c<c2 , 即可求出c的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案.
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