题目内容
【题目】如图,在以为顶点的多面体中,
平面
,
平面
,
.
(1)请在图中作出平面,使得
,且
,并说明理由;
(2)求直线和平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)取BC的中点P,连接EP,DP,证明平面ABF∥平面EDP,可得结论;(2)建立如图所示的坐标系,求出平面BCE的法向量,利用向量方法求直线EF与平面BCE所成角的正弦值.
试题解析:(1)如图,取中点
,连接
,则平面
即为所求的平面
.
显然,以下只需证明平面
;
∵,
∴且
,
∴四边形为平行四边形,
∴.
又平面
,
平面
,
∴平面
.
∵平面
,
平面
,
∴.
又平面
,
平面
,
∴平面
,
又平面
平面
,
∴平面平面
.
又平面
,
∴平面
,即
平面
.
(2)
过点作
并交
于
,
∵平面
,
∴,即
两两垂直,
以为原点,以
所在直线分别为
轴,建立如图所示空间直角坐标系
.在等腰梯形
中,∵
,
∴,
则.
∵,∴
,
∴.
设平面的法向量
,
由,得
,
取,可得平面
的一个法向量
.
设直线和平面
所成角为
,
又∵,
∴,
故直线和平面
所成角的正弦值为
.
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