题目内容
【题目】已知,其中
.
(1)若,且曲线
在
处的切线
过原点,求直线
的方程;
(2)求的极值;
(3)若函数有两个极值点
,
,证明
.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)见解析.
【解析】试卷分析:(Ⅰ)当a=0时,求得f(x)的解析式和导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线的方程;(Ⅱ)求得f(x)的导数,可得有两个不同的实根,讨论当a≤0时,当a>0时,判断单调性可得极大值大于0,解不等式即可得到所求范围;(Ⅲ)由(Ⅱ)知当
且
时,
有两个极值
点
,
,
,构造函数
对不等式进行证明;
试卷解析:
(Ⅰ)当时,
,
,
所以切线的斜率
,又直线
过原点,所以
,
由得
,
.
所以,故切线
的方程为
,即
.
(Ⅱ)由
,可得
,
①当时
,
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
在
时取到极小值,且
,
没有极大值;
②当时
或
,
.
在
,
上单调递增,
在上单调递减,
在
时取到极大值,
且,
在
时取到极小值,且
;
③当时
恒成立,
在
上单调递增,
没有极大值也没有极小值;
④当时
或
,
,
在
,
上单调递增,
在上单调递减,
在
时取到极小值,且
.
在
时取到极大值,且
.
综上可得,当时,
在
时取到极小值
,
没有极大值;
当时,
在
时取到极大值
,在
时取到极小值
;
当时,
没有极大值也没有极小值;当
时,
在
时取到极小值
.
在时取到极大值
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当且
时,
有两个极值
点
,
,
且
.
所以
,
设,则
,所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
由且
可得
,所以
,
即
.
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