Question

【题目】设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，证明：对任意的实数，都有.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，的单调减区间为，单调增区间为;（2）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为证明，先证出，再证明令，根据函数的单调性证明即可．

试题解析：（1）定义域为，，

①当时，，在上单调递增，

②当时，令，有，

		0
	↘	极小值	↗

所以的单调减区间为，单调增区间为.

综合①②，当时，在上单调递增；当时，的单调减区间为，单调增区间为.

（2）要证明，即证明，

下面先证明：，

构造函数，，

令得，当时，即在上单调递增，

∴，

于是有，，

∴当时，，

从而.

接下来只需证：，

即证：，

令，则，

所以在上单调递减，上单调递增，

即，

∵时，，

∴，

∴.

点晴:本题主要考查函数单调性,及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.