Question

【题目】已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＞x+1的解集为（ ）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C.（﹣1，1）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1， ∵f′（x）＜1（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，
∴g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，
∴不等式f（x）＞x+1的解集g（x）=f（x）﹣x﹣1＞0=g（1）的解集，
即g（x）＞g（1），又g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，
∴x＜1，即x∈（﹣∞，1）．
故选：D．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．