Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，短轴的一个端点到右焦点的距离为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若“椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b时，则椭圆的面积是πab．”
请针对（1）中求得的椭圆，求解下列问题：
①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，求点P（m，n）落在椭圆内的概率；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，求点P（m，n）落在椭圆内的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知，先确定a，c的值，进而求出b²，可得椭圆的标准方程；
（2）①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，则属于几何概型，分别计算满足条件的区域面积和总的区域面积，进而可得答案；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，则属于古典概型，分别计算满足条件的基本事件个数和总的基本事件的个数，进而可得答案；

解答 解：（1）∵短轴的一个端点到右焦点的距离为4，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
∴$a=4，e=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
∴$c=\sqrt{7}$，
∴b²=a²-c²=9，
∴椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$．…..（4分）；
（2）①当m，n是实数，且|m|≤4，|n|≤3时，
所有形如（m，n）的点覆盖的图形面积是48，
椭圆围成的区域在其内部，且面积为12π，
故点P（m，n）落在椭圆内的概率是$\frac{12π}{48}=\frac{π}{4}$…..（8分）；
②当m，n是整数，且|m|≤4，|n|≤3时，点P（m，n）共有9×7=63个．…..（10分）；
其中当m＞0，n＞0时，点（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，3），（2，3），（1，3）共7点落在椭圆外，
由对称性知，当m，n是整数，且|m|≤4，|n|≤3时，共有4×7=28个点落在椭圆外，又因为在椭圆上的整点有四个，
故点P（m，n）落在椭圆内的概率是$\frac{63-28-4}{63}=\frac{31}{63}$…..（16分）．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，概率的计算公式，是圆锥曲线与概率的综合应用，难度中档．