题目内容
5.已知cosθ=$\frac{4}{5},\;θ∈({0,\;\frac{π}{2}})$,(Ⅰ)求sin2θ的值;
(Ⅱ)求$cos(θ+\frac{π}{4})$的值;
(Ⅲ)求 $tan(θ+\frac{π}{4})$的值.
分析 (Ⅰ)利用同角三角函数关系式可求sinθ的值,根据二倍角的正弦函数公式即可求值.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论及两角和的余弦函数公式即可求值得解.
(Ⅲ)利用同角三角函数关系式可求tanθ的值,根据两角和的正切函数公式即可求值.
解答 (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)∵$cosθ=\frac{4}{5},\;θ∈({0,\frac{π}{2}})$,
∴$sinθ=\sqrt{1-{{cos}^2}θ}=\sqrt{1-{{({\frac{4}{5}})}^2}}=\frac{3}{5}$.------(公式(1分),结论1分)----(2分)
∴$sin2θ=2sinθcosθ=\frac{24}{25}$.-----------------------(公式(2分),结论1分)-----------(5分)
(Ⅱ)∴$cos(θ+\frac{π}{4})$=cosθcos$\frac{π}{4}$-sin$θsin\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-$$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$.----(公式(2分),函数值(1分),结论1分)--(9分)
(Ⅲ)∵$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{3}{4}$,-------(公式1分)
∴$tan(θ+\frac{π}{4})=\frac{tanθ+1}{1-tanθ}=\frac{{\frac{7}{4}}}{{\frac{1}{4}}}=7$.-------------(公式(2分),结论1分)------------(13分)
点评 本题主要考查了同角三角函数关系式,二倍角的正弦函数公式、余弦函数公式、正切函数公式的应用,考查了计算能力,属于基础题.
A. | (0,1) | B. | (1,2) | C. | (2,3) | D. | (3,4) |
A规格 | B规格 | C规格 | |
第一种钢板 | 2 | 1 | 1 |
第二种钢板 | 1 | 2 | 4 |