Question

20．已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，若b=3，2c=a+3$\sqrt{2}$，则cosC最小值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出cosC的最小值即可．

解答 解：∵2c=a+3$\sqrt{2}$，
∴两边平方得：4c²=a²+18+6$\sqrt{2}$a，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+9-{c}^{2}}{6a}$=$\frac{1}{8}$（a+$\frac{6}{a}$）-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≥$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$（当且仅当a=$\sqrt{6}$时取等号），
则cosC的最小值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．