Question

11．已知圆C：x²+y²-8x-8y+30=0，过曲线y=$\frac{1}{x}（x＞0）$上的点P作圆C的切线，设点A为一个切点，则|PA|的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 要使|PA|最小，需圆心C（4，4）与点P的距离最小，而CP=$\sqrt{（x-4）^{2}+（y-4）^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}-4）^{2}+14}$≥$\sqrt{14}$，可得|PA|的最小值．

解答 解：圆C：x²+y²-8x-8y+30=0，可化为（x-4）²+（y-4）²=2
要使|PA|最小，需圆心C（4，4）与点P的距离最小，
而CP=$\sqrt{（x-4）^{2}+（y-4）^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}-4）^{2}+14}$≥$\sqrt{14}$
故|PA|的最小值为$\sqrt{14-2}$=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．