题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求函数的单调区间;
(2)对一切,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)证明:对一切,都有
成立.
【答案】(1)递增区间是,递减区间是
;(2)
;(3)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,解关于导数的不等式,即可求解函数的单调区间;
(2)问题可化为对一切
恒成立,令
,根据函数的单调性求出
的最小值,从而求出
的取值范围即可;
(3)问题等价于,即证
,令
,根据函数的单调性即可作出证明.
试题解析:
(1),得
由
,得
∴的递增区间是
,递减区间是
(2)对一切,
恒成立,
可化为对一切
恒成立.
令,
,
当时,
,即
在
递减
当时,
,即
在
递增,∴
,
∴,即实数
的取值范围是
(3)证明: 等价于
,即证
由(1)知,(当
时取等号)
令,则
,易知
在
递减,在
递增
∴(当
时取等号)∴
对一切
都成立
则对一切,都有
成立.
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