Question

【题目】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，

=

=

=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5

（2）解：

=

=0.5×0.4

=0.2

∴

（3）解：ξ～B（3，0.8），

故ξ的分布列P（ξ=0）=0.23=0.008

P（ξ=1）=C31×0.8×0.22=0.096

P（ξ=2）=C32×0.82×0.2=0.384

P（ξ=3）=0.83=0.512

所以Eξ=3×0.8=2.4

【解析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．（3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望．
【考点精析】掌握离散型随机变量及其分布列是解答本题的根本，需要知道在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．