题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=1．
（Ⅰ）若过点C1（-1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为
6
5
，求直线l的方程；
（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C3：（x+1）2+y2=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P分别作圆C1的两条切线PE，PF，切点为E，F，求
C1E
•
C1F
的取值范围；
（Ⅲ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（+1），即kx-y+k=0．
因为直线l被圆C2截得的弦长为
6
5
，而圆C2的半径为1，
所以圆心C2（3，4）到l：kx-y+k=0的距离为
|4k-4|
k2+1
=
4
5
．
化简，得12k2-25k+12=0，解得k=
4
3
或k=
3
4
．
所以直线l方程为4x-3y+4=0或3x-4y+3=0…（4分）
（Ⅱ）动圆D是圆心在定圆（x+1）2+y2=9上移动，半径为1的圆
设∠EC1F=2α，则在Rt△PC1E中，cosα=
|C1E|
|PC1|
=
1
|PC1|
，
有cos2α=2cos2α-1=
2
|PC1|2
-1，
则
C1E
•
C1F
=|
C1E
||
C1F
|cos2α=cos2α=
2
|PC1|2
-1
由圆的几何性质得，|DC1|-r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4，4≤|PC1|2≤16
则
C1E
•
C1F
的最大值为-
1
2
，最小值为-
7
8
．
故
C1E
•
C1F
∈[-
7
8
，-
1
2
]．…（8分）
（Ⅲ）设圆心C（x，y），由题意，得CC1=CC2，
即
(x+1)2+y2
=
(x-3)2+(y-4)2
．
化简得x+y-3=0，即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动．
设C（m.3-m），则动圆C的半径为
1+CC12
=
(1+(m+1)2+(3-m)2
．
于是动圆C的方程为（x-m）2+（y-3+m）2=1+（m+1）2+（3-m）2．
整理，得x2+y2-6y-2-2m（x-y+1）=0．
由
x-y+1=0
x2+y2-6y-2=0
得
x=1+
3
2
2
y=2+
3
2
2
或
x=1-
3
2
2
y=2-
3
2
2

所以定点的坐标为（1-
3
2
2
，2-
3
2
2
），（1+
3
2
2
，2+
3
2
2
）…（13分）
练习册系列答案
相关题目
如图，抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）2+y2=1．平面上有点P满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1，l2，它们分别与圆M，N相交，且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长的比为
3
：1，试求所有满足条件的点P的坐标．
已知离心率为
6
3
的椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，且∠ACB=120°，C在AB上方，如图所示，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
一束光线从点（0，1）出发，经过直线x+y-2=0反射后，恰好与椭圆x2+
y2
2
=1相切，则反射光线所在的直线方程为______．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
如图所示，F1、F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点(1，
3
2
)到F1、F2两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积．
已知抛物线C：y=-x2+2x，在点A（0，0），B（2，0）分别作抛物线的切线L1、L2．
（1）求切线L1和L2的方程；
（2）求抛物线C与切线L1和L2所围成的面积S．
抛物线y2=2px（p＞0）上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如图，A，B，C为抛物线上三点，且线段MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若△AMB的面积是△BMC面积的
1
2
，求直线MB的方程．
如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．
（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

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