题目内容

抛物线y2=2px(p>0)上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)如图,A,B,C为抛物线上三点,且线段MA,MB,MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列,若△AMB的面积是△BMC面积的
1
2
,求直线MB的方程.
(Ⅰ)设M(x0,-p),则(-p)2=2px0,∴x0=
p
2

由抛物线定义,得x0-(-
p
2
)=2

∴p=2,x0=1.…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为y2=4x,M(1,-2).
A(
y12
4
y1)
B(
y22
4
y2)
C(
y32
4
y3)
(y1,y2,y3均大于零)…(6分)
则MA,MB,MC与x轴交点的横坐标依次为x1,x2,x3
(1)当MB⊥x轴时,直线MB的方程为x=1,则x1=0,不合题意,舍去.…(7分)
(2)MB与x轴不垂直时,kMB=
y2
+2
y22
4
-1
=
4
y2-2

设直线MB的方程为y+2=
4
y2-2
(x-1)
,即4x-(y2-2)y-2y2=0,
令y=0得2x2=y2,同理2x1=y1,2x3=y3,…(10分)
因为x1,x2,x3依次组成公差为1的等差数列,
所以y1,y2,y3组成公差为2的等差数列.         …(12分)
设点A到直线MB的距离为dA,点C到直线MB的距离为dC
因为S△BMC=2S△AMB,所以dC=2dA
所以
|y32-(y2-2)y3-2y2|
16+(y2-2)2
=2
|y12-(y2-2)y1-2y2|
16+(y2-2)2
…(14分)
得|y2+4|=2|y2|,即y2+4=2y2,所以y2=4,
所以直线MB的方程为:2x-y-4=0…(15分)
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