题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点P(1，
3
2
)．
∴
c=1
1
a2
+
9
4b2
=1
a2=b2+c2
，解得a=2，b=
3
，
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x0，y0），
设直线l的方程为x=my-1，
由
x=my-1
3x2+4y2=12
得：（3m2+4）y2-6my-9=0，
△=36m2+36（3m2+4）＞0，
∴y1+y2=
6m
3m2+4
，
∴AB的中点为(-
4
3m2+4
，
3m
3m2+4
)，
∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB与MF2的中点重合，即：
x0+1
2
=-
4
3m2+4
y0
2
=
3m
3m2+4

∴M(-
3m2+12
3m2+4
，
6m
3m2+4
)，
把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m4-24m2-80=0
解得m2=
20
9
，
∴存在符合条件的直线l的方程为：y=±
3
5
10
(x+1)．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C：x2=2py过点P(1，
1
2
)，直线l交C于A，B两点，过点P且平行于y轴的直线分别与直线l和x轴相交于点M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定点Q，当直线l过点Q时，△PAM与△PBN的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
已知抛物线C：y2=4x的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点（A在M、B之间）．
（1）F为抛物线C的焦点，若|AM|=
5
4
|AF|，求k的值；
（2）如果抛物线C上总存在点Q，使得QA⊥QB，试求k的取值范围．
已知点M（-1，0），N（1，0），动点P（x，y）满足：|PM|•|PN|=
4
1+cos∠MPN
，
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点N（1，0）的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAQB的面积；若不存在，说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过椭圆C内一点M（m，0），与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m值，若存在直线l及直线母x=-2上的点N，使得△PNQ的垂心恰为点F，求m的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=1．
（Ⅰ）若过点C1（-1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为
6
5
，求直线l的方程；
（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C3：（x+1）2+y2=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P分别作圆C1的两条切线PE，PF，切点为E，F，求
C1E
•
C1F
的取值范围；
（Ⅲ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F1，F2，离心率为
2
，且过点(4，-
10
)，
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）若直线系kx-y-3k+m=0（其中k为参数）所过的定点M恰在双曲线上，求证：F1M⊥F2M．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)过点(
3
，
2
2
)，它的离心率为
6
2
，P、Q分别在双曲线的两条渐近线上，M是线段PQ中点，|PQ|=2
2
．
（Ⅰ）求双曲线及其渐近线方程；
（Ⅱ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅲ）过C左焦点F1的直线l与C相交于点A、B，F2为C的右焦点，求△ABF2面积最大时
F2A
•
F2B
的值．
如图，设P是圆x2+y2=2上的动点，PD⊥x轴，垂足为D，M为线段PD上一点，且|PD|=
2
|MD|，点A、F1的坐标分别为（0，
2
），（-1，0）．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求|MA|+|MF1|的最大值，并求此时点M的坐标．

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