如图.过抛物线y2=2px的顶点作两条互相垂直的弦OA.OB．(1)设OA的斜率为k.试用k表示点A.B的坐标,(2)求弦AB中点M的轨迹方程．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．
（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

（1）∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0
∴设直线OA的方程为y=kx（k≠0）
∴联立方程

y=kx

y2=2px

解得xA=

，yA=

（4分）
以-

代上式中的k，解方程组

y=-

y2=2px

，解得x_B=2pk²，y_B=-2pk
∴A（

，

），B（2pk²，-2pk）（8分）
（2）设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得

x=p(

+k2)

y=p(

-k)

（10分）
消去参数k，得y²=px-2p²；即为M点轨迹的普通方程．（12分）

练习册系列答案

相关题目

, BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，

．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若

，求EC的长．

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+1）²+y²=1，圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）若过点C₁（-1，0）的直线l被圆C₂截得的弦长为

，求直线l的方程；
（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C₃：（x+1）²+y²=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P分别作圆C₁的两条切线PE，PF，切点为E，F，求

C1E

•

C1F

的取值范围；
（Ⅲ）若动圆C同时平分圆C₁的周长、圆C₂的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

（A题）已知点P是圆x²+y²=4上一动点，直线l是圆在P点处的切线，动抛物线以直线l为准线且恒经过定点A（-1，0）和B（1，0），则抛物线焦点F的轨迹为（　　）

，0），动点R在曲线C上运动且保持|RF₁|+|RF₂|的值不变，曲线C过点T（0，1），
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）M是曲线C上一点，过点M作斜率分别为k₁和k₂的直线MA，MB交曲线C于A、B两点，若A、B关于原点对称，求k₁•k₂的值；
（Ⅲ）直线l过点F₂，且与曲线C交于PQ，有如下命题p：“当直线l垂直于x轴时，△F₁PQ的面积取得最大值”．判断命题p的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请说明理由．

如图，设P是圆x²+y²=2上的动点，PD⊥x轴，垂足为D，M为线段PD上一点，且|PD|=

|MD|，点A、F₁的坐标分别为（0，

），（-1，0）．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此时点M的坐标．

以抛物线y²=4x的焦点为右焦点的椭圆，上顶点为B₂，右顶点为A₂，左、右焦点为F₁、F₂，且|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

OB2

|，过点D（0，2）的直线l，斜率为k（k＞0），l与椭圆交于M，N两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M，N的中点为H，且

∥

A2B2

，求出斜率k的值；
（3）在x轴上是否存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形？如果存在，求出m的范围；否则，请说明理由．

对于直线L：y=kx+1是否存在这样的实数，使得L与双曲线C：3x²-y²=1的交点A，B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

已知椭圆C以双曲线

-y2=1的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于点M，N两点（M，N不是左右顶点），且以线段MN为直径的圆过椭圆C左顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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