题目内容
已知离心率为
的椭圆E:
+
=1(a>b>0)与圆C:x2+(y-3)2=4交于A,B两点,且∠ACB=120°,C在AB上方,如图所示,
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在过交点B,斜率存在且不为0的直线l,使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
| ||
3 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在过交点B,斜率存在且不为0的直线l,使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
(1)如图,椭圆E:
+
=1(a>b>0)与圆C:x2+(y-3)2=4交于A,B两点,
且∠ACB=120°,C在AB上方,
连接AB,由对称性知:AB∥x轴,且A,B关于y轴对称,
∴C(0,3),|AC|=|AB|=2,
∴|AB|=
=2
,
∴C到AB的距离d=
=1,∴A(-
,2),B(
,2),(2分)
∴
+
=1,e=
=
,a2=b2+c2,
解得:a2=15,b2=5,(4分),
∴椭圆E:
+
=1.(5分)
(2)设过点B的直线l:y-2=k(x-
),(6分)
与椭圆的另一个交点为N(x1,y1),与圆的另一个交点M(x2,y2),
直线代入椭圆方程消去y得:
(3k2+1)x2-3k(
k-2)x+9k2-12
k-3=0
∴
x1=
,解得x1=
,
同理:x2=
,(8分)
若直线截两种曲线所得到的弦长相等,则B为M,N中点,
∴x1+x2=2
,(9分)
即:
+
=2
,
化简整理有:3k3+4
k2+5k+2
=0,
分解因式:3k3+3
k2+
k2+5k+2
=(k+
)(3k2+
k+2)=0
解得k=-
,∴存在直线l:y=-
x+5满足条件.(12分)
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
且∠ACB=120°,C在AB上方,
连接AB,由对称性知:AB∥x轴,且A,B关于y轴对称,
∴C(0,3),|AC|=|AB|=2,
∴|AB|=
4+4-2×4×cos120° |
3 |
∴C到AB的距离d=
4-3 |
3 |
3 |
∴
3 |
a2 |
4 |
b2 |
c |
a |
| ||
3 |
解得:a2=15,b2=5,(4分),
∴椭圆E:
x2 |
15 |
y2 |
5 |
(2)设过点B的直线l:y-2=k(x-
3 |
与椭圆的另一个交点为N(x1,y1),与圆的另一个交点M(x2,y2),
直线代入椭圆方程消去y得:
(3k2+1)x2-3k(
3 |
3 |
∴
3 |
9k2-12
| ||
3k2+1 |
3
| ||||
3k2+1 |
同理:x2=
| ||||
k2+1 |
若直线截两种曲线所得到的弦长相等,则B为M,N中点,
∴x1+x2=2
3 |
即:
3
| ||||
3k2+1 |
| ||||
k2+1 |
3 |
化简整理有:3k3+4
3 |
3 |
分解因式:3k3+3
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
解得k=-
3 |
3 |
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