题目内容

已知离心率为
6
3
的椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
与圆C:x2+(y-3)2=4交于A,B两点,且∠ACB=120°,C在AB上方,如图所示,
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在过交点B,斜率存在且不为0的直线l,使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
(1)如图,椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
与圆C:x2+(y-3)2=4交于A,B两点,
且∠ACB=120°,C在AB上方,
连接AB,由对称性知:ABx轴,且A,B关于y轴对称,
∴C(0,3),|AC|=|AB|=2,
∴|AB|=
4+4-2×4×cos120°
=2
3

∴C到AB的距离d=
4-3
=1,∴A(-
3
,2),B(
3
,2)
,(2分)
3
a2
+
4
b2
=1
e=
c
a
=
6
3
,a2=b2+c2
解得:a2=15,b2=5,(4分),
∴椭圆E:
x2
15
+
y2
5
=1
.(5分)
(2)设过点B的直线l:y-2=k(x-
3
)
,(6分)
与椭圆的另一个交点为N(x1,y1),与圆的另一个交点M(x2,y2),
直线代入椭圆方程消去y得:
(3k2+1)x2-3k(
3
k-2)x+9k2-12
3
k-3=0

3
x1=
9k2-12
3
k-3
3k2+1
,解得x1=
3
3
k2-12k-
3
3k2+1

同理:x2=
3
k2+2k-
3
k2+1
,(8分)
若直线截两种曲线所得到的弦长相等,则B为M,N中点,
x1+x2=2
3
,(9分)
即:
3
3
k2-12k-
3
3k2+1
+
3
k2+2k-
3
k2+1
=2
3

化简整理有:3k3+4
3
k2+5k+2
3
=0

分解因式:3k3+3
3
k2+
3
k2+5k+2
3
=(k+
3
)(3k2+
3
k+2)=0

解得k=-
3
,∴存在直线l:y=-
3
x+5
满足条件.(12分)
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