题目内容
已知离心率为
的椭圆E：
+
=1(a＞b＞0)与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，且∠ACB=120°，C在AB上方，如图所示，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
| ||
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（1）如图，椭圆E：
+
=1(a＞b＞0)与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，
且∠ACB=120°，C在AB上方，
连接AB，由对称性知：AB∥x轴，且A，B关于y轴对称，
∴C（0，3），|AC|=|AB|=2，
∴|AB|=
=2
，
∴C到AB的距离d=
=1，∴A（-
，2），B(
，2)，（2分）
∴
+
=1，e=
=
，a2=b2+c2，
解得：a2=15，b2=5，（4分），
∴椭圆E：
+
=1．（5分）
（2）设过点B的直线l：y-2=k(x-
)，（6分）
与椭圆的另一个交点为N（x1，y1），与圆的另一个交点M（x2，y2），
直线代入椭圆方程消去y得：
(3k2+1)x2-3k(
k-2)x+9k2-12
k-3=0
∴
x1=
，解得x1=
，
同理：x2=
，（8分）
若直线截两种曲线所得到的弦长相等，则B为M，N中点，
∴x1+x2=2
，（9分）
即：
+
=2
，
化简整理有：3k3+4
k2+5k+2
=0，
分解因式：3k3+3
k2+
k2+5k+2
=(k+
)(3k2+
k+2)=0
解得k=-
，∴存在直线l：y=-
x+5满足条件．（12分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
且∠ACB=120°，C在AB上方，
连接AB，由对称性知：AB∥x轴，且A，B关于y轴对称，
∴C（0，3），|AC|=|AB|=2，
∴|AB|=
| 4+4-2×4×cos120° |
| 3 |
∴C到AB的距离d=
| 4-3 |
| 3 |
| 3 |
∴
| 3 |
| a2 |
| 4 |
| b2 |
| c |
| a |
| ||
| 3 |
解得：a2=15，b2=5，（4分），
∴椭圆E：
| x2 |
| 15 |
| y2 |
| 5 |
（2）设过点B的直线l：y-2=k(x-
| 3 |
与椭圆的另一个交点为N（x1，y1），与圆的另一个交点M（x2，y2），
直线代入椭圆方程消去y得：
(3k2+1)x2-3k(
| 3 |
| 3 |
∴
| 3 |
9k2-12
| ||
| 3k2+1 |
3
| ||||
| 3k2+1 |
同理：x2=
| ||||
| k2+1 |
若直线截两种曲线所得到的弦长相等，则B为M，N中点，
∴x1+x2=2
| 3 |
即：
3
| ||||
| 3k2+1 |
| ||||
| k2+1 |
| 3 |
化简整理有：3k3+4
| 3 |
| 3 |
分解因式：3k3+3
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
解得k=-
| 3 |
| 3 |
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