Question

如图，抛物线C₁：y²=8x与双曲线C2：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)有公共焦点F₂，点A是曲线C₁，C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）以F₁为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）²+y²=1．平面上有点P满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁，l₂，它们分别与圆M，N相交，且直线l₁被圆M截得的弦长与直线l₂被圆N截得的弦长的比为

3

：1，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）∵抛物线C₁：y²=8x的焦点为F₂（2，0），
∴双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），（1分）
设A（x₀，y₀）在抛物线C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，
由抛物线的定义得，x₀+2=5，∴x₀=3，（2分）
∴y₀²=8×3，∴y0=±2

6

，（3分）
∴|AF1|=

(3+2)2+(±2 6 )2

=7，（4分）
又∵点A在双曲线上，
由双曲线定义得，2a=|7-5|=2，∴a=1，（5分）
∴双曲线的方程为：x2-

y2

3

=1．（6分）
（Ⅱ）设圆M的方程为：（x+2）²+y²=r²，
双曲线的渐近线方程为：y=±

3

x，
∵圆M与渐近线y=±

3

x相切，∴
圆M的半径为d=

2 3

2

=

3

，（7分）
故圆M：（x+2）²+y²=3，（8分）
设点P（x₀，y₀），则l₁的方程为y-y₀=k（x-x₀），
即kx-y-kx₀+y₀=0，l₂的方程为y-y0=-

1

k

(x-x0)，
即x+ky-x₀-ky₀=0，
∴点M到直线l₁的距离为d1=

|2k+kx0-y0|

1+k2

，
点N到直线l₂的距离为d2=

|x0+ky0-2|

1+k2

，
∴直线l₁被圆M截得的弦长s=2

3-( 2k+kx0-y0 1+k2 )2

，
直线l₂被圆N截得的弦长t=2

1-( x0+ky0-2 1+k2 )2

，（11分）
由题意可得，

s

t

=

3- (2k+kx0-y0)2 1+k2

1- (x0+ky0-2)2 1+k2

=

3

，
即3（x₀+ky₀-2）²=（2k+kx₀-y₀）²，
∴

3

x0+

3k

y0-2

3

=2k+kx0-y0①
或

3

x0+

3k

y0-2

3

=-2k-kx0+y0②（12分）
由①得：(x0-

3

y0+2)k-(

3

x0+y0-2

3

)=0，
∵该方程有无穷多组解，
∴

x0- 3 y0+2=0 3 x0+y0-2 3 =0

，解得

x0=1 y0= 3

，
点P的坐标为(1，

3

)．（13分）
由②得：(x0+

3

y0+2)k+(

3

x0-y0-2

3

)=0，
∵该方程有无穷多组解，
∴

x0+ 3 y0+2=0 3 x0-y0-2 3 =0

，解得

x0=1 y0=- 3

，
点P的坐标为(1，-

3

)．
∴满足条件的点P的坐标为(1，

3

)或(1，-

3

)．（14分）