Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，$sin（2C-\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}$，且a²+b²＜c²
求：（1）角C的大小；  
（2）$\frac{a+b}{c}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过a²+b²＜c²及余弦定理可知C为钝角，利用$sin（2C-\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}$计算可得结论；
（2）通过（1）及三角形内角和定理可知B=$\frac{π}{3}-A$、$0＜A＜\frac{π}{3}$可以正弦定理化简即得结论．

解答 解：（1）因为，a²+b²＜c²，由余弦定理$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}＜0$，
所以，C为钝角．…（2分）
∵$sin（2C-\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}$，又$\frac{π}{2}＜2C-\frac{π}{2}＜\frac{3π}{2}$，
∴$2C-\frac{π}{2}=\frac{5π}{6}$，
∴$C=\frac{2π}{3}$…（6分）
（2）由（1）得，B=$\frac{π}{3}-A$，$0＜A＜\frac{π}{3}$．…（8分）
根据正弦定理，$\frac{a+b}{c}=\frac{sinA+sinB}{sinC}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}[sinA+sin（\frac{π}{3}-A）]$=$\frac{2}{{\sqrt{3}}}sin（A+\frac{π}{3}）$…（12分）
又∵$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜sin（A+\frac{π}{3}）≤1$
从而$\frac{a+b}{c}$的取值范围是$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$…（15分）

点评 本题考查解三角形的应用，涉及正弦定理、余弦定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．