Question

3．求下列函数的定义域、值域、单调区间3
（1）f（x）=$\frac{1}{{2}^{x-4}}$；
（2）f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}}$．

Answer 1

分析 （1）定义域显然为R，由2^x-4＞0，便可得出$\frac{1}{{2}^{x-4}}$的范围，即得出该函数值域，根据单调性的定义容易判断该函数的单调递减区间为（-∞，+∞）；
（2）解-x²-3x+4≥0便可得出f（x）的定义域为[-4，1]，由$-{x}^{2}-3x+4=-（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}$便可得出$0≤\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}≤\frac{5}{2}$，从而根据指数函数的单调性便可得出f（x）的值域，可设-x²-3x+4=t，从而看出原函数是由$y=（\frac{1}{2}）^{\sqrt{t}}$和t=-x²-3x+4复合而成的复合函数，函数y=$（\frac{1}{2}）^{\sqrt{t}}$为减函数，从而求函数t=-x²-3x+4在[-4，1]上的单调增、减区间，便可得出f（x）的减、增区间．

解答 解：（1）定义域为R；
2^x-4＞0；
∴$\frac{1}{{2}^{x-4}}＞0$；
∴f（x）的值域为（0，+∞）；
x增大时，2^x-4增大，∴$\frac{1}{{2}^{x-4}}$减小；
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
即f（x）的单调递减区间为（-∞，+∞）；
（2）∴要使f（x）有意义，则：-x²-3x+4≥0；
解得-4≤x≤1；
∴该函数的定义域为[-4，1]；
$-{x}^{2}-3x+4=-（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}$；
∴$0≤-{x}^{2}-3x+4≤\frac{25}{4}$；
∴$0≤\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}≤\frac{5}{2}$；
∴$（\frac{1}{2}）^{\frac{5}{2}}≤（\frac{1}{2}）^{\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}}≤（\frac{1}{2}）^{0}$；
∴$\frac{\sqrt{2}}{8}≤f（x）≤1$；
∴该函数的值域为[$\frac{\sqrt{2}}{8}，1$]；
令-x²-3x+4=t，则$（\frac{1}{2}）^{\sqrt{t}}$为减函数；
∴t=-x²-3x+4在[-4，1]上的减区间为原函数的增区间，增区间为原函数的减区间；
∴原函数的增区间为$[-\frac{3}{2}，1]$，减区间为$[-4，-\frac{3}{2}]$．

点评 考查函数定义域、值域的概念及其求法，根据不等式的性质求函数值域，指数函数的值域，以及指数函数的单调性，配方法求二次函数的值域，二次函数单调区间及复合函数单调区间的求法．