题目内容
【题目】已知函数,且
的解集为
,数列
的前
项和为
,对任意
,都有
(1)求数列的通项公式.
(2)已知数列的前
项和为
,满足
,
,求数列
的前
项和
.
(3)已知数列,满足
,若
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
或
【解析】
(1)根据根与系数的关系求出,和
,再利用
即可求出数列
的通项公式;
(2)根据,
,可证明
为等比数列,求得
,
,再根据错位相减法即可求出结果;
(3)由题意可知,可得
,易知当
时,
;当
时,
,当
时,
,进而求出有
的最大值为
,再根据不等式恒成立可列出不等式,解不等式,即可求出结果.
(1)的解集为
,∴
是方程
的两根
由韦达定理知,解得
,∴
,得
当时,有
当时,有
也符合
,∴
(2)当时,有
,即
,得
当时,有
,可得
,即
,
∴为等比数列,首项为
,公比为2,
∴,∴
.
①,
① 得,
②
①-②得
∴
(3)由题意可知,
则
∴当时,
,即
当时,
,即
,
当时,
,即
,故有
的最大值为
由于对任意
恒成立
则应有,
或
综上:的取值范围是:
或
.
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