题目内容
【题目】函数.
(1)求的单调区间;
(2)若,求证:
.
【答案】(Ⅰ)a≤0时,的单调递减区间是
;
时,
的单调递减区间是
,
的单调递增区间是
.(Ⅱ) 证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)求出导数,根据对的分类讨论,找到导数正负区间,即可求出;
(2)求出函数的最小值,转化为证≥
,构造
,求其最小值,即可解决问题.
试题解析:
(Ⅰ).
当a≤0时,,则
在
上单调递减;当
时,由
解得
,由
解得
.
即在
上单调递减;
在
上单调递增;
综上,a≤0时,的单调递减区间是
;
时,
的单调递减区间是
,
的单调递增区间是
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知在
上单调递减;
在
上单调递增,
则.
要证≥
,即证
≥
,即
+
≥0,
即证≥
.构造函数
,则
,
由解得
,由
解得
,
即在
上单调递减;
在
上单调递增;
∴ ,
即≥0成立.从而
≥
成立.
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