题目内容
【题目】规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球 A 是指该球的球心点 A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
(1) 如图,设母球 A 的位置为 (0, 0),目标球 B 的位置为 (4, 0),要使目标球 B 向 C(8, -4) 处运动,求母球 A 球心运动的直线方程;
(2)如图,若母球 A 的位置为 (0, -2),目标球 B 的位置为 (4, 0),能否让母球 A 击打目标 B 球后,使目标 B 球向 (8,-4) 处运动?
(3)若 A 的位置为 (0,a) 时,使得母球 A 击打目标球 B 时,目标球 B(4, 0) 运动方向可以碰到目标球 C(7
,-5
),求 a 的最小值(只需要写出结果即可)
【答案】(1);(2)不能;(3)
.
【解析】
(1)求出直线的方程,设出球心的坐标,利用球心在直线
上以及
列方程组,可求得
的值.,由此求得母球
运动的直线方程.(2)计算
求得
为锐角,同理
,计算点
到线段
的距离,判断出不能.(3)要使
最小,临界条件为球
从球
的左上方
处撞击球
后,
球从球
的右上方
处撞击球
.列方程求得
的坐标,过
作倾斜角为
的直线,与
轴相交于
,由此求得
的最小值.
(1)
点B(4,0)与点C(8,-4)所石室的直线方程为:x+y-4=0,
依题意,知A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,
此时|AB|=2,设A,B两球碰撞时球A的球心坐标为,
则有:,解得:
,
,
即:A,B两球碰撞时球A的球心坐标为(
,
),
所以,母球A运动的直线方程为:
(2)记,因为
,所以
,故
为锐角,同理可知
也为锐角.故
在直线
上的投影在线段
上,该点到
的距离小于
,故球
经过该点之前就会与球
碰撞,故不可能让母球
击打目标
球后,使目标
球向
处运动.
(3)的最小值为
.要使得
最小,临界条件为球
从球
的左上方
处撞击球
后,
球从球
的右上方
处撞击球
.如下图所示,设
是球
的所有路径中最远离
的那条路径上离球
最近的点,则有
,联立
,解得
,所有直线
的倾斜角为
,所以直线
的倾斜角为
,易得
.过
作倾斜角为
的直线,交
轴于点
,易得
,就是一个符合题意的初始位置.若
,则球
会在达到
之前就与球
碰撞,不合题意.因此
的最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到表格:(单位:人)
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
(i)分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
(ii)从这5人中,再随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中
.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题,目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中,且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升,有关数据显示,某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表:
年份x | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
包装垃圾y(万吨) | 4 | 6 | 9 | 13.5 |
(1)有下列函数模型:①;②
;③
.
试从以上函数模型中,选择模型________(填模型序号),近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系,并直接写出所选函数模型解析式;
(2)若不加以控制,任由包装垃圾如此增长下去,从哪年开始,该城市的包装垃圾将超过40万吨?(参考数据:)