题目内容
【题目】已知a>1,b>0,且a+2b=2,则 的最小值为 .
【答案】4(1+ )
【解析】解:∵a+2b=2,∴a﹣1=1﹣2b,
∴ +
=
+
,
设 +
=t,
则2b+(2﹣2b)(1﹣2b)=tb(1﹣2b),
故(4+2t)b2﹣(4+t)b+2=0,
①4+2t=0时,t=﹣2,
故(4﹣2)b+2=0,解得:b=1,
a+2b=2,得a+2=2,故a=0,与a=1不符,
故4+2t≠0;
②4+2t≠0时,得t≠﹣2,
由(4+2t)b2﹣(4+t)b+2=0,
由△≥0,得(4+t)2﹣4(4+2t)﹣2≥0,
故t2﹣8t﹣16≥0,解得:t≤4﹣4 (舍)或t≥4+4
,
故 的最小值为4(1+
),
故答案为:4(1+ ).
求出a﹣1=1﹣2b,设 +
=t,得到(4+2t)b2﹣(4+t)b+2=0,通过讨论①4+2t=0,②4+2t≠0的情况,求出t的最小值即
的最小值即可.
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