题目内容

【题目】某生态公园的平面图呈长方形(如图),已知生态公园的长AB=8(km),宽AD=4(km),M,N分别为长方形ABCD边AD,DC的中点,P,Q为长方形ABCD边AB,BC(不含端点)上的一点.现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P,要求观光车道围成四边形(如图阴影部分)的面积为15(km2),设BP=x(km),BQ=y(km),
(1)试写出y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围;
(2)若B为公园入口,P,Q为观光车站,观光车站P位于线段AB靠近入口B的一侧.经测算,每天由B入口至观光车站P,Q乘坐观光车的游客数量相等,均为1万人,问如何确定观光车站P,Q的位置,使所有游客步行距离之和最大,并求出最大值.

【答案】
(1)解:∵M,N是AD,CD的中点,AB=8,AD=4,BP=x,BQ=y,

∴S△AMP= =8﹣x,S△DMN= =4,S△NCQ= =8﹣2y,S△BPQ=

∵观光车道围成四边形(如图阴影部分)的面积为15(km2),

∴8﹣x+4+8﹣2y+ xy=4×8﹣15=17,

∴y= =

令0<y<4,即0< <4,解得0<x<3或5<x<8.


(2)解:由题意可知0<x<3,

∴x+y=x+ =x+2﹣

令f(x)=x+2﹣ ,则f′(x)=1﹣

令f′(x)=0得x=4﹣

∴当0<x 时.f′(x)>0,当4﹣ <x<3时,f′(x)<0,

∴f(x)在(0,4﹣ )上单调递增,在(4﹣ ,3)上单调递减,

∴当x=4﹣ 时,f(x)取得最大值6﹣2

∴所有游客的步行距离之和的最大值为20000×(6﹣2 )=40000(3﹣ )km.


【解析】(1)根据面积列方程得出y关于x的解析式;(2)利用导数求出x+y的最大值,从而得出步行距离之和的最大值.

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