题目内容

3.若点P(x,y)满足线性约束条件$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y≤0\\ x-\sqrt{3}y+2≥0\\ y≥0\end{array}\right.$,点$A(3,\sqrt{3})$,O为坐标原点,则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值为(  )
A.0B.3C.-6D.6

分析 设z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$,根据数量积的公式计算出z,作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,即可得到结论.

解答 解:设z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$,则z=3x+$\sqrt{3}$y,即y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$,
作出不等式组对应的平面区域如图:
平移直线y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$,由图象可知当直线y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$经过点A时,
直线y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$的截距最大,此时z最大,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$,即A(1,$\sqrt{3}$),
此时z=3×1+$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3+3=6,
故$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值为6,
故选:D.

点评 本题主要考查线性规划的应用,根据数量积的公式将条件化简,以及利用数形结合是解决本题的关键.

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