题目内容
3.若点P(x,y)满足线性约束条件$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y≤0\\ x-\sqrt{3}y+2≥0\\ y≥0\end{array}\right.$,点$A(3,\sqrt{3})$,O为坐标原点,则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值为( )A. | 0 | B. | 3 | C. | -6 | D. | 6 |
分析 设z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$,根据数量积的公式计算出z,作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,即可得到结论.
解答 解:设z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$,则z=3x+$\sqrt{3}$y,即y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$,
作出不等式组对应的平面区域如图:
平移直线y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$,由图象可知当直线y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$经过点A时,
直线y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$的截距最大,此时z最大,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$,即A(1,$\sqrt{3}$),
此时z=3×1+$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3+3=6,
故$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值为6,
故选:D.
点评 本题主要考查线性规划的应用,根据数量积的公式将条件化简,以及利用数形结合是解决本题的关键.
练习册系列答案
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A. | $\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 2 | D. | 1 |
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A. | 2 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 3 | D. | $\sqrt{3}$ |
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A. | 充要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分不必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
13.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,4},则A∩(∁UB)=( )
A. | {1,2,3,5} | B. | {2,4} | C. | {1,3} | D. | {2,5} |