题目内容
8.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,它的一个顶点恰好是抛物线x2=4$\sqrt{2}$y的焦点.(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)直线x=2与椭圆交于P,Q两点,P点位于第一象限,A,B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点.
(i)若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$,求四边形APBQ面积的最大值;
(ii)当点A,B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
分析 (I)设椭圆C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),由条件利用椭圆的性质求得 b和a的值,可得椭圆C的方程.
(Ⅱ)(i)设AB的方程为y=$\frac{1}{2}$x+t,代入椭圆C的方程化简,由△>0,求得t的范围,再利用利用韦达定理可得 x1+x2 以及x1+x2 的值.再求得P、Q的坐标,根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=$\frac{1}{2}$•PQ•|x1-x2|,计算求得结果.
(ii)当∠APQ=∠BPQ时,PA、PB的斜率之和等于零,PA的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=$\frac{8k(2k-1)}{1+{4k}^{2}}$.再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值,可得 x1+x2 以及x1-x2 的值,从而求得AB的斜率K的值.
解答 解:设椭圆C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),
由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4$\sqrt{2}$y的焦点(0,$\sqrt{2}$),∴b=$\sqrt{2}$.
再根据离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求得a=2$\sqrt{2}$,∴椭圆C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1.
(Ⅱ)(i)设A( x1,y1 ),B( x2,y2),AB的方程为y=$\frac{1}{2}$x+t,
代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2-4=0,
由△=4t2-4(2t2-4)>0,求得-2<t<2.
利用韦达定理可得 x1+x2=-2t,x1 •x2=2t2-4.
在 $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1中,令x=2求得P(2,1),Q(2,-1),
∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=$\frac{1}{2}$•PQ•|x1-x2|
=$\frac{1}{2}$×2×|x1-x2|=|x1-x2|=$\sqrt{{{(x}_{1}{+x}_{2})}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{{4t}^{2}-4({2t}^{2}-4)}$=$\sqrt{16-{4t}^{2}}$,
故当t=0时,四边形APBQ的面积S取得最大值为4.
(ii)当∠APQ=∠BPQ时,PA、PB的斜率之和等于零,设PA的斜率为k,则 PB的斜率为-k,
PA的方程为y-1=k(x-2),把它代入椭圆C的方程化简可得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,
∴x1+2=$\frac{8k(2k-1)}{1+{4k}^{2}}$.
同理可得直线PB的方程为y-1=-k(x-2),x2+2=$\frac{8k(2k+1)}{1+{4k}^{2}}$,
∴x1+x2=$\frac{1{6k}^{2}-4}{1+{4k}^{2}}$,x1-x2=$\frac{-16k}{1+{4k}^{2}}$,∴AB的斜率K=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{1-k{(x}_{2}-2)-[1+k{(x}_{1}-2)]}{{x}_{2}{-x}_{1}}$
=$\frac{4k-k{(x}_{1}{+x}_{2})}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{k{(x}_{1}{+x}_{2})-4k}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=$\frac{k•\frac{1{6k}^{2}-4}{1+{4k}^{2}}-4k}{\frac{-16k}{1+{4k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$.
点评 本题主要考查求圆锥曲线的标准方程,圆锥曲线的定义、性质的应用,直线和圆锥曲线相交的性质,直线的斜率公式、韦达定理的应用,属于难题.
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
A. | 2 | B. | -2i | C. | -4 | D. | 2i |
A. | 不存在x∈R,sinx≤1 | B. | 存在x∈R,sinx≤1 | ||
C. | 存在x∈R,sinx>1 | D. | 对任意的x∈R,sinx>1 |
A. | [-2,1] | B. | [-1,1] | C. | [-1,1) | D. | (0,2] |