题目内容
11.双曲线r:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a>0,b>0)的左顶点为C,A为双曲线第一象限上的点,直线OA交双曲线于另一点B,双曲线左焦点为F,连结AF交BC延长线于D点.若$\overrightarrow{DB}$=3$\overrightarrow{DC}$,则双曲线r的离心率等于( )A. | 2 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 3 | D. | $\sqrt{3}$ |
分析 设A(m,n),F(-c,0),则B(-m,-n),设D(x,y),由题意可得C(-a,0),运用向量的共线的坐标表示,可得m=3a+2x,再由两直线AF,BC求得交点的横坐标,化简整理,即可得到c=3a,由离心率公式计算即可得到.
解答 解:设A(m,n),F(-c,0),则B(-m,-n),
设D(x,y),由题意可得C(-a,0),
由$\overrightarrow{DB}$=3$\overrightarrow{DC}$,可得-m-x=3(-a-x),
即有m=3a+2x,
直线AF的方程为y=$\frac{n}{m+c}$(x+c),
直线BC的方程为y=$\frac{n}{m-a}$(x+a),
可得(m+c)(x+a)=(m-a)(x+c),
代入m=3a+2x,可得
(3a+2x+c)(x+a)=(2a+2x)(x+c),
化简即为(x+a)(c-3a)=0,
即有x=-a或c=3a,
若x=-a,则y=0,D与C重合,矛盾.
故只有c=3a,即有e=$\frac{c}{a}$=3.
故选C.
点评 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查离心率的求法,同时考查直线方程和向量共线的坐标表示,属于中档题.
练习册系列答案
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6.设函数f(x)=x2-xlnx+2.
(1)求函数g(x)=f′(x)的极值;
(2)若存在区间[a,b)⊆[$\frac{1}{2}$,+∞),使[a,b]上的值域是[ka,kb],求k的取值范围.
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