题目内容
20．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；
（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为$\frac{2}{3}$，答对文科题的概率均为$\frac{1}{4}$，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．
分析 （1）利用条件概率公式，即可求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；
（2）确定X的可能取值，利用概率公式即可得到总分X的分布列，代入期望公式即可．
解答 解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B，则P（A）=$\frac{4}{7}$，P（AB）=$\frac{4}{35}$．…（2分）
∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为P（B|A）=$\frac{1}{5}$．…（5分）
（2）X的可能取值为：0，10，20，30，
则P（X=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{12}$，P（X=10）=${C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$+$（\frac{1}{3}）^{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=20）=${C}_{2}^{2}×（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{3}{4}+{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{4}{9}$，
P（X=30）=1-$\frac{1}{12}$-$\frac{13}{36}$-$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{9}$．…（9分）
∴X的分布列为
| X | 0 | 10 | 20 | 30 |
| p | $\frac{1}{12}$ | $\frac{13}{36}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{1}{9}$ |
∴X的数学期望为EX=0×$\frac{1}{12}$+10×$\frac{13}{36}$+20×$\frac{4}{9}$+30×$\frac{1}{9}$=$\frac{95}{6}$．…（12分）
点评 此题考查了独立事件，条件概率的概率公式，随机变量的分布列及其期望，重点考查了学生对于题意的正确理解及准确的计算能力．
练习册系列答案
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10．以下各式中错误的是（ ）
| A． | arcsin1=$\frac{π}{2}$ | B． | arccos（-1）=π | C． | arctan0=0 | D． | arccos1=2π |
11．函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2-ln x的最小值（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 1 | C． | 不存在 | D． | 0 |
如图是y=f（x）的导函数的图象，现有四种说法：
5．三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为a的球面上，若PC=2PA=2a，且AB⊥BC，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为（ ）
| A． | $\frac{{a}^{3}}{4}$ | B． | $\frac{{a}^{3}}{3}$ | C． | $\frac{{a}^{3}}{2}$ | D． | $\frac{3{a}^{3}}{4}$ |
12．如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是 （ ）
| A． | 48 | B． | 24$\sqrt{3}$ | C． | 16 | D． | 8$\sqrt{3}$ |