Question

5．三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为a的球面上，若PC=2PA=2a，且AB⊥BC，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为（　　）

• A． $\frac{{a}^{3}}{4}$
• B． $\frac{{a}^{3}}{3}$
• C． $\frac{{a}^{3}}{2}$
• D． $\frac{3{a}^{3}}{4}$

Answer 1

分析 由题意，三棱锥P-ABC的体积最大时，PA⊥平面ABC，PC为球的直径，设AB=x，则BC=$\sqrt{3{a}^{2}-{x}^{2}}$，V=$\frac{1}{3}$x•$\sqrt{3{a}^{2}-{x}^{2}}$•a，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：由题意，三棱锥P-ABC的体积最大时，PA⊥平面ABC，PC为球的直径，
设AB=x，则BC=$\sqrt{3{a}^{2}-{x}^{2}}$，
∴V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3{a}^{2}-{x}^{2}}$•a=$\frac{a}{6}$$\sqrt{{x}^{2}（3{a}^{2}-{x}^{2}）}$≤$\frac{a}{6}$•$\frac{3{a}^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{3}}{4}$，
当且仅当x²=3a²-x²时，等号成立，
∴三棱锥P-ABC的体积的最大值为$\frac{{a}^{3}}{4}$，
故选：A．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的体积的最大值，考查基本不等式的运用，正确表示三棱锥P-ABC的体积是关键．