Question

7．在等差数列{a_n}中，其前n项的和为S_n，且S₆＜S₇，S₇＞S₈，有下列四个命题：
①此数列的公差d＜0；   
②S₉一定小于S₆；   
③a₇是各项中最大的一项；  
④S₇一定是S_n中的最大项．
其中正确的命题是①②④．（填入所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 由已知不等式，结合等差数列的前n项和得到a₇＞0，a₈＜0，得到d的正负，S₉与S₆的大小，以及各项中的最大项与S_n中的最大项即可．

解答 解：由S₆＜S₇，得到S₆-S₇=-a₇＜0，即a₇＞0，
由S₇＞S₈，得到S₇-S₈=-a₈＞0，即a₈＜0，
∴a₇+d＜0，即d＜-a₇＜0，选项①正确；
∵S₉=a₉+a₈+a₇+S₆=S₆+3a₈，
∵a₈＜0，
∴S₉＜S₆，选项②正确；
∵d＜0，∴a₆＞a₇，即a₇不是各项中最大的一项，选项③错误；
∵d＜0，a₇＞0，a₈＜0，
∴S₇一定是S_n中的最大项，选项④正确，
故答案为：①②④．

点评 此题考查了等差数列的前n项和，等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．