题目内容

3.若y=(a-3)(a-2)x是指数函数,求函数f(x)=a${\;}^{\frac{1}{x+2}}$的定义域与值域.

分析 根据指数函数的定义求出a的值,再求函数f(x)的定义域和值域即可.

解答 解:∵y=(a-3)(a-2)x是指数函数,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3=1}\\{a-2>0}\\{a-2≠1}\end{array}\right.$,
解得a=4,
∴函数f(x)=a${\;}^{\frac{1}{x+2}}$=${4}^{\frac{1}{x+2}}$,
其中x+2≠0,即x≠-2,
∴函数f(x)的定义域是{x|x≠-2};
又x+2≠0时,$\frac{1}{x+2}$≠0,
∴${4}^{\frac{1}{x+2}}$≠1,
∴f(x)的值域是(0,1)∪(1,+∞).

点评 本题考查了指数函数的定义、图象与性质的应用问题,是基础题目.

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