题目内容
【题目】对于数列
：
、
、
、
、
，若不改变，仅改变、、、中部分项的符号（可以都不改变），得到的新数列
称为数列的一个生成数列，如仅改变数列
、
、
、
、
的第二、三项的符号，可以得到一个生成数列：、
、
、、.已知数列为数列
的生成数列，
为数列的前
项和.
（1）写出
的所有可能的值；
（2）若生成数列的通项公式为
，求；
（3）用数学归纳法证明：对于给定的
，的所有可能值组成的集合为
.
【答案】（1）
、
、
、
；（2）
；（3）证明见解析.
【解析】
（1）根据生成数列定义，可知当
时，
，
、
分别为
、
中取值，由此给出
的所有可能的情况，即可计算出
的所有可能值；
（2）利用
，分
、
、
三种情况讨论，利用分组求和与等比数列的求和公式即可求得
；
（3）利用数学归纳法证明：①当
时命题成立；②假设当
时，
，证明出
，结合归纳原理即可证明出结论成立.
（1）由题意得，
，
根据生成数列的定义，可得
，
，
又
，
，
，
，
因此，所有可能的取值为、、、；
（2）
，
当时，
；
当时，
；
当时，
.
综上所述：
；
（3）利用数学归纳法证明：
①当时，
，命题成立；
②假设当时，命题成立，即
所有可能值的集合为
.
由假设得.
则当
时，
.
即
或
，
即，
当时，命题成立.
由①②知，对于给定的
，的所有可能值组成的集合为
.
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