题目内容
【题目】已知抛物线:
的焦点为
,其准线
:
与
轴的交点为
,过点
的直线
与抛物线
交于
两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)点关于
轴的对称点为
,证明:存在实数
,使得
.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
(1)根据抛物线的准线为直线:
,可求出
,进而可得抛物线方程;
(2)先设直线的方程为
,
,
,联立直线与抛物线方程,由韦达定理,求出直线
恒过定点
,进而可证明结论成立.
解:(1)因为抛物线:
的准线为直线
:
,
所以,解得
.
所以抛物线的方程为
.
(2)易知点的坐标为
,据此可设直线
的方程为
,
,
.
联立整理得
,故
因为点关于
轴的对称点为
,
,所以
.
则直线的方程为
,
得,
得,
即.
令,得
,
得.
所以直线恒过定点
.
所以点在直线
上,所以不妨令
.
因为,
所以,
所以,
所以.
所以存在实数,使得
,命题得证.
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练习册系列答案
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出5人,进行体育锻炼体会交流,再从这5人中选出2人作重点发言,求作重点发言的2人中,至少1人是女生的概率.
参考公式:,其中
.
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |