题目内容
【题目】一次足球邀请赛共安排了支球队参加,每支球队预定的比赛场数分别是
,
,…,
.若任两支球队之间至多安排了一场比赛,则称
是一个“有效安排”.证明:若
是一个有效安排,且
,则可去掉一支球队,并重新调整各队之间的对局情况,使
也是一个有效安排.
【答案】见解析
【解析】
设预定比赛场的队为
.
(1)若的
场比赛其对手恰好就是
,
,…,
,则直接去掉
(当然,
所参与的所有比赛也就被取消了).于是,剩下的队
,
,…,
之间的比赛,以
为有效安排.
(2)若球队,
,…,
中有些队并未安排与
比赛,设在
,
,…,
中自左至右第一支未安排与
比赛的队是
.
由于要赛
场,于是,在
,
,…,
之外必有一支球队安排了与
比赛(设为
).
又由于,故必有一支球队
,它被安排了与
比赛而未安排与
比赛,如图所示.
下面对原安排作如下调整:
取消与
、
与
的比赛,改为
与
、
与
进行比赛,其他比赛安排不变.
经过这次调整后,所有球队的比赛场数不变,且是一个有效安排.而第一支不与比赛的队的序号至少后移了一个位置,故经有限次这样的调整之后,就变成了情形(1).
因此,结论得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位:毫克),质量值落在的产品为合格品,否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表,如图是乙流水线样本的频率分布直方图.
产品质量/毫克 | 频数 |
3 | |
9 | |
19 | |
35 | |
22 | |
7 | |
5 |
(1)由以上统计数据完成下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关?
甲流水线 | 乙流水线 | 总计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
附表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,
)
(2)按照以往经验,在每小时次品数超过180件时,产品的次品率会大幅度增加,为检测公司的生产能力,同时尽可能控制不合格品总量,公司工程师抽取几组一小时生产产品数据进行次品情况检查分析,在(单位:百件)件产品中,得到次品数量
(单位:件)的情况汇总如下表所示:
| 0.5 | 2 | 3.5 | 4 | 5 |
| 2 | 14 | 24 | 35 | 40 |
根据公司规定,在一小时内不允许次品数超过180件,请通过计算分析,按照公司的现有生产技术设备情况,判断可否安排一小时生产2000件的任务?
(参考公式:用最小二乘法求线性回方程的系数公式
;
)