Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）利用分母不为0，求出f（x）的定义域，f（x）=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{a}^{x}-1}$，即可求出值域；
（2）利用奇偶性的定义，即可判断；
（3）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）变形后易判＞0，由单调性的定义可得．

解答 解：（1）由a^x-1≠0，可得x≠0，∴f（x）的定义域是{x|x≠0}；
f（x）=$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{a}^{x}-1}$∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）f（-x）=$\frac{{a}^{-x}+1}{{a}^{-x}-1}$=-$\frac{{a}^{x}+1}{{a}^{x}-1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（3）a=2时，f（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$
=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
∴f（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$在（0，+∞）上单调递减．

点评 本题考查函数的单调性的判断与证明，考查函数的奇偶性、定义域和值域，属中档题．