Question

10．（1）已知椭圆经过点（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$）和点（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1），求椭圆的标准方程．
（2）焦点坐标为（±$\sqrt{3}$，0），并且经过点（2，1），求椭圆的标准方程．
（3）求经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36有共同焦点的椭圆的标准方程．
（4）若椭圆的两个焦点为F₁（-4，0）、F₂（4，0），椭圆的弦AB过点F₁，且△ABF₂的周长为20，求该椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆的标准方程为mx²+ny²=1，（其中m、n为正数且m≠n），代点解m和n可得；
（2）由题意可得c=$\sqrt{3}$，且椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+3}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，代入点（2，1）求b²可得；
（3）先得已知椭圆的焦点，可设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+5}$=1，代入点（2，-3）求b²可得；
（4）由题意可得c=4，且椭圆焦点在x轴，由三角形周长和椭圆定义可得a值，进而求解b²可得．

解答 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为mx²+ny²=1，（其中m、n为正数且m≠n），
∵椭圆经过点（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{3}$）和点（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}m+3n=1}\\{\frac{8}{9}m+n=1}\end{array}\right.$，解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，
∴所求椭圆的标准方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
（2）由题意可得c=$\sqrt{3}$，且椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+3}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
代入点（2，1）可得$\frac{4}{{b}^{2}+3}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，解得b²=3，
∴所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（3）椭圆9x²+4y²=36可化为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
可得其焦点为（0，-$\sqrt{5}$）和（0，$\sqrt{5}$），
∴可设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+5}$=1，
代入点（2，-3）可得$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}+5}$=1，解得b²=10，
∴所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1；
（4）由题意可得c=4，且椭圆焦点在x轴，
△ABF₂的周长l=AB+BF₂+AF₂=AF₁+BF₁+BF₂+AF₂
=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=2a+2a=4a=20，
∴a=5，∴b²=a²-c²=25-16=9，
∴所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查椭圆标准方程的求解，涉及椭圆的定义和设置标准方程的技巧，属中档题．